Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [ – 6, 5].

10. Находим точки, в которых производная равна нулю либо не существует. Среди найденных точек выберем те, которые находятся на отрезке.

.

.

Обе точки лежат в заданном отрезке.

20. Вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка.

.

30. Из вычисленных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Выписать ответ.

Ответ: наибольшее значение функция достигает на конце интервала в точке x= – 6,   = 30.

Наименьшее значение достигается в точке min при x =1, .

Итак, точка x = –6 является точкой глобального максимума, а точка x = 1 – точкой глобального минимума функции на отрезке [–6, 5].

2.6. Производные высших порядков

Рассмотрим дифференцируемую функцию f(x) и найдем ее производную . Эта производная является функцией переменной x. Найдем ее производную, если она существует: .

Полученную новую функцию называют второй производной, или производной второго порядка функции f(x) и обозначают .

Продифференцировав вторую производную (если это возможно), получим производную третьего порядка:  и т.д.

Определение. Производной n-го порядка функции f(x) называется первая производная от (n–1)-й производной:

Заметим, что для обозначения производных выше третьего порядка штрихи не используют, а порядок производной пишут сверху в круглых скобках: . Производные функции выше первого порядка, которую называют просто производной, называются производными высших порядков.

2.7. Формула Тейлора (до второго порядка включительно)

Пусть функция f(x) определена в точке  и ее окрестности и имеет там непрерывные производные до третьего порядка включительно. Тогда в любой точке x из этой окрестности функцию можно представить в виде многочлена второго порядка следующим образом:

Это представление функции называется формулой Тейлора функции f(x), а последнее слагаемое  называют остаточным членом. При малых  является бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Известные нам элементарные функции представляются многочленами от x в окрестности точки :

Формула Тейлора при  носит название формулы Маклорена.

2.8. Выпуклость функции. Точки перегиба

Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале [a, b].

Определение. Функция f(x) выпукла на интервале [a, b], если касательная к графику в каждой точке , лежит не выше графика функции (под графиком): .

На рис. 19 изображена функция, выпуклая на [a, b]. Заметим, что для выпуклой функции справедливо утверждение: график функции на интервале [a, b] лежит под хордой AB. Характер выпуклости дважды дифференцируемой функции определяется знаком ее второй производной.

 

Рис. 19 Рис. 20

Справедливо следующее утверждение: пусть f(x) имеет вторую производную   во всех точках интервала [a, b] и   для всех , тогда функция f(x) выпукла на [a, b].

В противном случае, если  для всех , то f(x) не является выпуклой на [a, b] и говорят, что она вогнута на этом интервале (рис. 20).

Определение. Точка  называется точкой перегиба, если точка  отделяет выпуклую часть графика от вогнутой. Очевидно, что в точке перегиба . Это условие является необходимым условием точки перегиба.

Достаточное условие точки перегиба. Если в точке   и вторая производная слева и справа от этой точки имеет разные знаки, то  – точка перегиба функции.

2.9. Асимптоты

Определение. Прямая L называется асимптотой к кривой, если расстояние d от точки М на кривой до данной прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.

Асимптоты бывают двух типов: вертикальные и наклонные.

Прямая x = a является вертикальной асимптотой к графику функции y = f(x), если точка a есть точка бесконечного разрыва функции, т.е.  (рис. 21). (Например, если знаменатель обращается в нуль при x = a, числитель же не равен нулю при x = a).

Рис. 21 Рис. 22

Прямая y = kx+b является наклонной асимптотой к графику функции y = f(x), если существуют конечные пределы  и  (рис. 22).

Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота y = b, если k = 0. Заметим, что при отыскании наклонных асимптот следует отдельно рассматривать случаи .


Приложения интегрального исчисления в экономике