Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Общая схема исследования функции. Построение графика

При общем исследовании функции полезно придерживаться следующего плана.

1. Элементарное исследование: область определения, симметрия графика (четность, нечетность), точки пересечения с осями координат (если это возможно).

2. Точки разрыва функции, вертикальные и наклонные асимптоты (исследование поведения функции на бесконечности).

3. Интервалы монотонности, точки экстремума (используя знаки ).

4. Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости (с помощью ).

5. Построение графика функции (основываясь на результатах исследования).

Пример 1.

Исследовать функцию  и построить ее график.

10. Функция определена на всей числовой оси, за исключением точки x = 1, где знаменатель обращается в нуль. Так как область определения не симметрична относительно начала координат, то нет смысла говорить о четности (нечетности) функции.

Найдем точки пересечения графика с осями координат: y = 0 при x = 3 (точка пересечения с осью 0X); при x = 0 y = 9 (точка пересечения с осью 0Y).

20. В точке x =1 знаменатель дроби равен нулю, т.е. x = 1 – точка разрыва функции, а .

Точка x = 1 – точка бесконечного разрыва (II рода) и прямая x = 1 является вертикальной асимптотой графика.

Найдем наклонную асимптоту y = kx + b:

.

=5.

Итак, наклонная асимптота y = 5 – x.

30. Исследование функции с помощью первой производной:

.

  при  – стационарные точки,  не существует при x =1 (в точке разрыва функции).

Отметим на числовой оси стационарные точки, точки разрыва функции и производной. Эти точки отделяют интервалы монотонности функции. Определим знаки  в каждом из этих интервалов.

На интервалах , значит, функция y(x) здесь убывает; на интервалах (–1, 1) и (1, 3) производная , следовательно, эти интервалы являются интервалами возрастания функции.

При переходе слева направо через точку x = –1 производная  меняет знак с (–) на (+), следовательно, x =–1 – точка минимума, ; при переходе через точку x = 1 производная не меняет знака; при переходе же через точку x = 3 производная меняет знак с (+) на (–), значит, x = 3 – точка максимума, .

40. Вычислим вторую производную:

.

Вторая производная в нуль не обращается, точек перегиба график не имеет. На интервале  вторая производная положительна, график функции выпуклый. На интервале   график функции вогнутый.

Точка разрыва функции x = 1 отделяет выпуклую часть графика функции от вогнутой.

50. График функции, построенный по результатам исследования, изображен на рис. 23.

Рис. 23


Смотрите http://kart-gallery.ru картины для интерьера.
Приложения интегрального исчисления в экономике