Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Ряды Основы векторной алгебры

Математика примеры решения задач курсовой работы

Элементы интегрального исчисления

Понятие первообразной. Основные правила интегрирования

В предыдущей главе “Дифференциальное исчисление” мы решали следующую задачу: по данной функции найти ее производную. Во многих вопросах науки и техники приходится решать обратную задачу, а именно, восстанавливать функцию по известной ее производной. Эта обратная операция более сложная, чем предыдущая прямая задача.

Пусть дана функция f(x), которая является производной функции F(x), и, зная функцию f(x), будем искать F(x),для которой f(x) служит производной.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x), если f(x) является производной для F(x) или, что то же, выражение f(x)dx служит дифференциалом для F(x) на данном промежутке изменения x:

  или dF(x)=f(x)dx.

Так, например, для функции  первообразной будет , так как .

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Например,   есть первообразная для , так как . Но функция  также будет первообразной для , так как . Вообще, любая функция , где c– произвольная постоянная, имеет производную  и потому будет первообразной для .

Задача отыскания всех первообразных для f(x) является одной из основных задач интегрального исчисления.

Возникают три вопроса: всякая ли функция f(x) имеет первообразную? если первообразная существует, то единственна ли она? как находить первообразную?

На второй вопрос мы уже можем ответить. Справедливо следующее утверждение: если функция F(x) есть первообразная для f(x) на некотором промежутке изменения x, то F(x)+c, где c – любая постоянная, также будет первообразной. И обратно, каждая первообразная для f(x) может быть представлена в виде F(x)+c. Таким образом, выражение F(x)+c представляет собой общий вид первообразных для f(x).

Совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается

.

Операцию отыскания всех первообразных для f(x), т.е. отыскание неопределенного интеграла, называют интегрированием функции f(x); функцию f(x) называют подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx – подынтегральным выражением.

Для ответа на второй вопрос сформулируем теорему, дающую достаточное условие интегрируемости функции на интервале.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на данном промежутке, то она имеет на этом промежутке первообразную, т.е. существует .

Это утверждение мы примем без доказательства. Заметим только, что условие непрерывности не является необходимым для интегрируемости функции (например, функции, имеющие конечное число точек разрыва I рода на промежутке, также имеют первообразную). Ответ на вопрос, как найти первообразную для функции f(x), не прост. Начнем с того, что перечислим основные свойства неопределенного интеграла, или простейшие правила интегрирования.

1. , т.е.  или.

2. или .

Выполнение этих свойств следует непосредственно из определения неопределенного интеграла и первообразной.

Свойства 1, 2 показывают, что если функцию f(x) проинтегрировать, а затем продифферен-цировать, то получим снова функцию f(x) .

Если к F(x) сначала применить операцию дифференцирования, а затем интегрирования, то получим снова F(x), правда, следует прибавить к ней постоянную c. Операции интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными.

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов, т.е.

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Для проверки всех этих простейших правил интегрирования достаточно продифференцировать обе части равенства.

Основные методы интегрирования

Мы уже начали обсуждение методов интегрирования, сформулировав простейшие правила вычисления интегралов. Как уже говорилось, вычислениe неопределенного интеграла является задачей значительно более трудной, чем отыскание производной. Например, нет никаких правил для интегрирования произведения или частного двух функций. Кроме того, интегралы от некоторых элементарных функций не являются элементарными функциями. Например,  и другие не берутся в элементарных функциях.

Мы выпишем здесь таблицу основных интегралов и научимся сводить вычисление некоторых интегралов к табличным.

Таблица

Основных интегралов (c – постоянная)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Заметим, что переменная интегрирования может быть любой: . Часто удается введением новой переменной интегрирования свести интеграл  к более простому, например, табличному. Имеет место формула замены переменной в неопределенном интеграле: , где  – непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную.

Пример 1. Вычислить .

Введем новую переменную t = 1–9x, или .

Вычислим   и подставим в интеграл:

.

Возвращаясь к переменной x, получим

.

Пример 2. Вычислить .

Сделаем замену переменной x на t: , подставляем в интеграл: .

Но интеграл  – табличный, поэтому .

Рассмотренные примеры можно решить, применяя следующее правило: если , то , где a, b, c – постоянные.

Пример 3. Вычислить , где a= –5, b = 2. Табличный интеграл , здесь , тогда .

Пример 4. Вычислить .

Введем новую переменную . Здесь, в отличие от предыдущего примера, замена переменной не является линейной. Тогда dt=2xdx,  и .

Метод, рассмотренный в примерах 1-4, называют методом подстановки.

Следующий метод, который мы здесь рассмотрим, называют интегрированием по частям.


Приложения интегрального исчисления в экономике