Начертательная геометрии и инженерная графика Преобразование комплексного чертежа Плоскости и их проекции Конические сечения Компьютерная графика

Начертательная геометрии и инженерная графика

Плоскости и их проекции

Плоскость общего положения на комплексном чертеже

Определителем плоскости называется совокупность геометрических элементов, однозначно задающих положение плоскости в пространстве. На комплексном чертеже плоскость задаётся проекциями элементов своего определителя. Плоскость считается заданной, если относительно произвольной точки пространства можно однозначно решить вопрос о её принадлежности к этой плоскости. Плоскость называется плоскостью общего положения, если она не параллельна и не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций.

 Существуют следующие способы задания плоскости:

1) тремя точками, не лежащими на одной прямой, например, точками А, В и С; определитель плоскости – Σ(А,В,С) (рис.4.1);

2) прямой и точкой, не лежащей на прямой, например, прямой l и точкой А; определитель плоскости – Σ(l,A) (рис.4.2);

Рис.4.1  Рис.4.2

3) двумя пересекающимися прямыми, например, прямыми a и b; определитель плоскости – Σ(a∩b) (рис.4.3);

4) двумя параллельными прямыми, например, прямыми m и n; определитель плоскости – Σ(m||n) (рис.4.4);

Рис.4.3  Рис.4.4

5) любой плоской фигурой, например, треугольником АВС; определитель плоскости – Σ(Δ АВС) (рис.4.5);

6) следами плоскости; определитель плоскости - Σ(h0,f0) (рис.4.6).

Рис.4.5  Рис.4.6

Каждую плоскость можно задать любым из этих способов. При этом всегда можно перейти от одного способа задания плоскости к другому.

Следом плоскости называется прямая пересечения плоскости с плоскостью проекций. Горизонтальным следом плоскости называется прямая пересечения плоскости с плоскостью проекций П1. Фронтальным следом плоскости называется прямая пересечения плоскости с плоскостью проекций П2. Профильным следом плоскости называется прямая пересечения плоскости с плоскостью проекций П3. У плоскости общего положения три следа.

Для того чтобы построить следы плоскости общего положения, нужно знать следующие положения:

1) горизонтальный след плоскости проходит через горизонтальные следы всех прямых, лежащих в этой плоскости; то же самое можно сказать и относительно фронтального и профильного следов плоскости;

2) следы плоскости пересекаются между собой на осях координат: горизонтальный и фронтальный – на оси x12, горизонтальный и профильный – на оси y13, фронтальный и профильный – на оси z23.

Поэтому для построения следов какой-либо плоскости общего положения необходимо взять на плоскости две произвольные прямые, построить их следы и соединить одноимённые следы между собой прямой линией. На рис.4.7 и 4.8 приведён пример построения следов плоскости Σ.

Рис.4.7  Рис.4.8

Сначала определяем горизонтальный след прямой АВ. Для этого продлеваем фронтальную проекцию прямой А2В2 до пересечения с осью x12 в точке 12, которая является фронтальной проекцией горизонтального следа прямой АВ. Горизонтальная проекция 11 горизонтального следа прямой находится на продолжении отрезка А1В1. Затем аналогичными построениями находим проекции горизонтального следа прямой ВС – точки 22 и 21. Соединив найденные горизонтальные проекции горизонтальных следов прямых АВ и ВС, можно получить горизонтальную проекцию горизонтального следа h01 плоскости Σ. Фронтальная проекции h02 горизонтального следа плоскости совпадает с осью x12.

Для построения фронтального следа плоскости достаточно найти хотя бы одну его точку, т.к. вторая точка (точка пересечения следов на оси x12) уже найдена. Для этого продлеваем горизонтальную проекцию В1С1 стороны ВС до пересечения с осью x12 в точке 31 – горизонтальной проекции фронтального следа прямой ВС. Фронтальная проекция 32 фронтального следа лежит на продолжении прямой В2С2. Далее соединим найденную точку 32 с точкой пересечения следов на оси x12. Получим фронтальную проекцию f 02 фронтального следа плоскости Σ. Горизонтальная проекция f 01 фронтального следа плоскости совпадает с осью x12.


Комплексный метод расчета цепей