Начертательная геометрии и инженерная графика Преобразование комплексного чертежа Плоскости и их проекции Конические сечения Компьютерная графика

Начертательная геометрии и инженерная графика

Позиционные задачи

Классификация позиционных задач

В процессе проектирования и изготовления нового изделия инженерам часто приходится решать задачи, связанные с различными геометрическими объектами. Такие задачи делятся на метрические и позиционные. При решении метрических задач определяются различные геометрические величины: длины отрезков, углы, площади, объемы и т.п. Геометрические задачи, связанные лишь с относительным расположением фигур в пространстве, относятся к позиционным.

Под позиционными задачами мы будем понимать задачи на определение общих элементов различных геометрических фигур. К ним относятся задачи на взаимную принадлежность (взять точку на линии или на поверхности, провести линию на поверхности, провести поверхность через заданные линии и т.д.) и задачи на пересечение различных геометрических объектов (найти точку пересечения линии с поверхностью или линию пересечения двух поверхностей и т.д.). Некоторые позиционные задачи были рассмотрены нами ранее, например, как построить точку на прямой или на плоскости, как определить точку пересечения двух лежащих в одной плоскости прямых и пр.

Общая схема решения задачи на построение линии пересечения двух поверхностей

В начертательной геометрии линию пересечения двух поверхностей находят с помощью приема, который называется способом вспо­могательных секущих поверхностей (способ поверхностей-посред­ников). Этот способ заключается в следующем. Предположим, даны две произвольные поверхности Σ и Ф. Нужно построить линию их пересечения, т.е. определить точки, принадлежащие линии пересечения (рис.13.1).

Рис.13.1

Чтобы найти такие точки, надо выполнить следующие действия.

1. Данные поверхности пересечь некоторой вспомогательной поверхностью Θ. Вид и расположение этой вспомогательной поверхности относительно данных поверхностей должны быть выбраны так, чтобы в пересечении получались простые по форме линии (прямая, окружность) и чтобы проекции этих линий легко строились на комплексном чертеже.

2. Построить линии пересечения вспомогательной поверхности Θ с каждой из данных поверхностей: n = ΣÇΘ, m = ФÇΘ.

3. Отметить точки пересечения полученных линий: М,N = nÇm.

Полученные точки одновременно принадлежат трём поверхностям: Σ, Ф и Θ, а потому они принадлежат искомой линии пересечения данных поверхностей.

Повторяя этот прием с различными вспомогательными поверхностями, можно найти такое количество точек кривой, которое позволяет достаточно точно провести через эти точки кривую линию по лекалу.

На практике в качестве вспомогательных секущих поверхностей чаще всего используют плоскости (частный вид поверхности) или сферы. В соответствии с этим из общего способа выделяются два, которые называются способом плоскостей и способом сфер.

3. Способ вспомогательных секущих плоскостей

Этот способ применяют для построения точек линии пересечения двух поверхностей тогда, когда вспомогательные плоскости, рассекающие данные поверхности, дают в пересечении с каждой из них графически простые линии, такие как прямые или окружности. Чаще всего в качестве вспомогательных секущих плоскостей используют проецирующие плоскости или плоскости уровня.

Среди точек линии пересечения двух поверхностей имеются такие точки, которые выделяются своим особым расположением или по отношению к плоскостям проекций или занимают особые места на кривой. Например, самая близкая и самая удаленная точки относительно той или иной плоскости проекций (экстремальные точки); точки, расположенные на крайних образующих некоторых поверхностей, – так называемые точки видимости, имеющие проекции на линиях очертания, точки наибольшей ширины кривой и т.д. Такие точки называются опорными. Оказывается, что даже в одной задаче на построение линии пересечения поверхностей каждую опорную точку могут находить своим приемом построения без применения вспомогательных секущих плоскостей. Остальные точки линии пересечения называются произвольными или случайными, и находят их с помощью одного и того же приема, который заключается в проведении вспомогательных секущих плоскостей и который является основным для решения рассматриваемой задачи.

Построение линии пересечения поверхностей нужно начинать с отыскания опорных точек и лишь, затем переходить к нахождению произвольных точек.

Сущность способа вспомогательных секущих плоскостей рассмотрим на примере построения линии пересечения прямого кругового конуса Φ со сферой Θ (рис.13.2).

Линию пересечения поверхностей начнём строить с отыскания опорных точек. Заметим, что у обеих поверхностей имеется общая плоскость симметрии, которая является фронтальной плоскостью уровня. В этой плоскости лежат главные меридианы данных поверхностей (окружность у сферы и треугольник у конуса), а значит, они будут пересекаться между собой. Точки их пересечения являются самой верхней (точка А) и самой нижней (точка В) точками линии пересечения. Для нахождения остальных точек линии пересечения необходимо проводить вспомогательные плоскости. В данном случае лучше всего воспользоваться горизонтальными плоскостями уровня. Такие плоскости будут пересекать и конус, и сферу по окружностям. Причем эти окружности на плоскость П1 будут проецироваться без искажения в натуральную величину.

Рис.13.2

  Алгоритм решения задачи следующий.

 1. Проводится вспомогательная горизонтальная плоскость уровня, например, Σ1.

 2. Строятся окружности пересечения вспомогательной плоскости со сферой и конусом: m=Σ1ÇΘ, n=Σ1ÇΦ. На фронтальную плоскость проекций П2 эти окружности проецируются в виде отрезков прямых, лежащих внутри очерков сферы и конуса. На плоскость П1 окружности пересечения проецируются без искажения.

 3. На плоскости проекций П1 находятся горизонтальные проекции точек С1 и D1 пересечения построенных окружностей: C,D=mÇn. Фронтальные проекции этих точек располагаются на фронтальной проекции вспомогательной плоскости Σ12.

 Для нахождения других точек линии пересечения нужно ещё провести вспомогательные плоскости Σ2, Σ3, Σ4. Одну из этих плоскостей необходимо провести через экватор сферы. Найденные при этом точки E и F будут являться границей видимости для горизонтальной проекции линии пересечения поверхностей. Все точки линии пересечения, которые лежат выше этих точек, на П1 будут видимыми, а точки, которые лежат ниже точек E и F, на П1 будут невидимыми. Границей видимости линии пересечения для фронтальной плоскости проекций будет являться плоскость главных меридианов поверхностей: все точки, лежащие перед ней, будут видимыми, а точки, лежащие за плоскостью, – невидимыми.

  Найденные точки необходимо соединить плавной линией по лекалу с учетом видимости. Линия, получившаяся на П1, называется кардиоидой, а на П2 – параболой.


Комплексный метод расчета цепей