Начертательная геометрии и инженерная графика Преобразование комплексного чертежа Плоскости и их проекции Конические сечения Компьютерная графика

Начертательная геометрии и инженерная графика

Построение линии пересечения поверхностей способом секущих плоскостей

На рис. 8.3 построена линия пересечения двух поверхностей вращения – тора и конуса.

Для построения точек этой линии могут быть выбраны только вспомогательные горизонтальные плоскости, расположенные перпендикулярно к осям поверхностей, так как они пересекают их по окружностям.

Характерные точки 1 и 2, расположенные на очерковых линиях фронтального изображения, находятся в плоскости a общей симметрии данных поверхностей. Эта плоскость является фронтальной, поэтому точки 1 и 2 очевидны.

Точки 3 и 4 на экваторе тора найдены с помощью плоскости w1, которая пересекает тор по экватору k, а коническую поверхность – по окружности m1. Горизонтальные проекции линий k и m1 пересекаются в точках 3¢ и 4¢. Они, очевидно, расположены на линии, перпендикулярной к плоскости a. Поэтому фронтальные проекции точек 3 и 4 совпадают.

Промежуточные точки 5 и 6 найдены с помощью второй горизонтальной плоскости w2. Фронтальные проекции точек 5 и 6 также совпадают.

Не вся построенная кривая видна на фронтальной проекции: половина ее находится на задней стороне данных поверхностей. Но невидимая ее часть закрывается видимой. На горизонтальной проекции видна часть 3–1–4 кривой, расположенная выше экватора тора (видимость меняется в точках 3 и 4, лежащих на экваторе).

Рис. 8.3

Способ вспомогательных секущих сфер

Возможность применения сферических поверхностей в качестве посредников для построения линий пересечения основывается на том, что сферическая поверхность со всякой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы, пересекается по окружности. Если при этом ось поверхности вращения перпендикулярна одной из плоскостей проекций, то эта окружность на одну из плоскостей проекций будет проецироваться в виде отрезка прямой, а на другую в истинном виде – окружностью. На рис. 8.4 показаны примеры пересечения сферической поверхности с соосными поверхностями вращения – цилиндрической, конической и двумя с криволинейной образующей – выпуклой и вогнутой.

Рис. 8.4

Для того, чтобы построение линии пересечения кривых поверхностей можно было выполнить при помощи вспомогательных сферических поверхностей, необходимо наличие следующих условий:

пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

оси поверхностей должны пересекаться;

плоскость, определяемая пересекающимися осями поверхностей, должна быть параллельна плоскости проекций.

Рассмотрим пример построения линии пересечения кривых поверхностей при помощи сферических поверхностей.

На рис. 8.5 показано построение линии пересечения двух конусов, у которых оси пересекаются.

Отметим, прежде всего, очевидные точки линии пересечения – 1, 2, 3 и 4, горизонтальные проекции которых определяются по их фронтальным проекциям.

Радиусы сферических поверхностей, при помощи которых находим остальные точки линии пересечения, надлежит изменять в следующих пределах.

Радиус наибольшей сферической поверхности должен быть несколько меньше расстояния точки О" от наиболее удаленной точки из четырех 1¢¢, 2¢¢, 3¢¢ и 4¢¢, в которых пересекаются очерковые образующие фронтальных проекций данных поверхностей.

Радиус наименьшей сферической поверхности должен быть равен расстоянию от точки О" до наиболее удаленной очерковой образующей данных поверхностей, чтобы одной из них сферическая поверхность касалась (была бы в нее вписана), а другую пересекала.

Построение линии пересечения целесообразно начинать с проведения именно меньшей сферической поверхности.

Сферическая поверхность, вписанная в вертикальный конус, касается его поверхности по окружности, которая на плоскость проекций p2 проецируется в виде отрезка а¢¢, а на плоскость проекций p1 в истинном виде – окружностью а¢, а поверхность горизонтального конуса эта сферическая поверхность пересекает по окружностям, которые на обе плоскости проекции проецируются в виде отрезков b и с.

Рис. 8.5

Пересечение а¢¢ с b¢¢ и c¢¢ на плоскости проекций p2 определяет фронтальные проекции 5² и 6² точек линии пересечения ближайших к оси вертикального конуса, а пересечение окружности а¢ c b¢ и c¢ на плоскости проекций p1 определяет горизонтальные проекции тех же точек.

Характерными точками линии пересечения являются также точки 7 и 8 на передней и задней образующих горизонтального конуса – их горизонтальные проекции являются границами видимости линии пересечения на плоскости проекций p1.

Для нахождения этих точек необходимо провести сферическую поверхность диаметра d, которая пересечет горизонтальный конус по окружностям, проецирующимся на плоскости проекций p2 и p1 в виде отрезков e и f. В пересечении d¢¢ с e¢¢ и f¢¢ на плоскости проекций p2 получаем точки 7" и 8¢¢, а пересечение e¢ и d¢ с очерковыми образующими горизонтальной проекции горизонтального конуса определяет точки 7¢ и 8¢.

Та же сферическая поверхность диаметра d определяет для линии пересечения точки 9 и 10.

Третья сферическая поверхность наибольшего радиуса определяет для линии пересечения точки 11 и 12.

Как видно из рис. 8.5, линия пересечения состоит из двух замкнутых пространственных кривых.

Видимыми сверху будут те части кривых, которые принадлежат верхней половине поверхности горизонтального конуса, то есть части 7¢ - 5¢ - 9¢ - 1¢ - 9¢ - 5¢ - ¢7  и 8¢ - 6¢ - 10¢ - 3¢ - 10¢ - 6¢ - 8¢.

8.3. Особый случай построения линии пересечения двух

поверхностей

Линия пересечения кривых поверхностей в общем случае представляет кривую пространственную (точки которой не лежат в одной плоскости), но в некоторых частных случаях эти линии могут оказаться кривыми плоскими.

Это имеет место тогда, когда пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения второго порядка с пересекающимися осями и к тому же описаны вокруг общей для них сферической поверхности, имеющий центр в точке пересечения их осей.

На рис. 8.6 – 8.8 показаны такие случаи пересечения поверхностей вращения: двух цилиндров, цилиндра с конусом, двух конусов.

Во всех этих случаях каждая пара поверхностей пересекается по двум эллипсам.

Рис. 8.6

Рис. 8.7 

Рис. 8.8


Комплексный метод расчета цепей