Начертательная геометрии и инженерная графика Преобразование комплексного чертежа Плоскости и их проекции Конические сечения Компьютерная графика

Начертательная геометрии и инженерная графика

Развитие геометрии

Основные закономерности и свойства пространства, составляющие содержание элементарной геометрии, излагались еще до нашей эры в трудах греческих геометров. Особенно большое значение имели работы Эвклида, жившего в III веке до нашей эры. В своих «Началах» Эвклид изложил элементарную геометрию, которая получила название эвклидова геометрия. В основу своей геометрии Эвклид положил систему постулатов, на которых строится эта наука. Постулат означает требование. Эвклид так и пишет: «Нужно потребовать:

Чтобы от каждой точки к каждой точке можно было провести прямую линию.

Чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжить по прямой.

Чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность.

Чтобы все прямые углы были друг другу равны.

Чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие вместе меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороны, с которой эти углы составляют меньше двух прямых» (рис.1.13).

Рис.1.13

Пятый постулат, называемый как постулат о параллельных прямых, гораздо сложнее первых четырех и лишен их наглядности, потому, что речь здесь идет о неограниченном продолжении прямых. Он скорее похож на теорему, которая нуждается в доказательстве. Эвклид отводил пятому постулату особое место среди его аксиом. Изложение материала он разбил на две части. Сначала Эвклид рассматривает теоремы, которые можно доказать, не прибегая к помощи пятого постулата. Эта часть теперь называется абсолютной геометрией. Затем сгруппированы все теоремы, которые доказываются только на основе пятого постулата. Эту часть и называют собственно эвклидовой геометрией.

Многие математики последующих веков, считая пятый постулат теоремой, пытались его доказать. Однако в течении 2000 лет им этого сделать не удалось. Кроме новых формулировок[1] пятого постулата, других успехов не было. Так продолжалось до 11 февраля 1826 года, когда на заседании Ученого Совета Казанского университета профессор Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) сообщил о создании им новой геометрии, построенной на отрицании пятого постулата Эвклида.

Свою геометрию Лобачевский назвал воображаемой или пангеометрией. В противоположность постулату Эвклида, Лобачевский в основу построения теории параллельных линий положил следующую аксиому:

через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Отвергнув обязательность пятого постулата, Лобачевский расстался с привычным пространством эвклидовой геометрии и открыл существование пространства с особыми свойствами, совершенно не похожего на привычное нам пространство, в котором протекает вся наша жизнь. Смоделировать плоскость Лобачевского на эвклидовой плоскости невозможно. Поэтому выполнить чертеж, иллюстрирующий аксиому параллельности Лобачевского, можно лишь условно (рис.1.14). Из всех прямых пучка, проходящих через точку Р, не лежащей на прямой АА', Лобачевский называл первые прямые, не встречающиеся с исходной прямой АА', параллельными прямой АА'. Следуя этому определению, из каждой точки плоскости можно провести только две прямые, параллельные данной. Они располагаются по обе стороны от перпендикуляра, опущенного из этой точки на исходную прямую, и лежат симметрично относительно него (СС′ и DD′).

Рис.1.14

Таким образом, Лобачевский постулировал, что через каждую точку на плоскости в его новом пространстве проходят две прямые, параллельные данной прямой. Заменив своим постулатом пятый постулат Эвклида и сохранив в неприкосновенности все остальные, Лобачевский построил новую геометрию открытого им пространства, не содержащую никаких противоречий.

В эвклидовой плоскости угол между перпендикуляром и параллелью всегда равен 90°. На плоскости Лобачевского угол между перпендикуляром и каждой из двух параллелей к прямой всегда будет меньше 90°. Более того, величина этого угла параллельности, как его называет Лобачевский, непостоянна: она меняется в зависимости от длины перпендикуляра, опущенного из точки на первоначальную прямую. Когда длина перпендикуляра стремится к нулю, угол параллельности стремится к 90°, а когда перпендикуляр растет до бесконечности, этот угол становится равным нулю, т.е.

ÐC'PQ = П(PQ),

где функция П - отношение отрезка PQ к некоторому другому постоянному отрезку, являющемся радиусом кривизны пространства Лобачевского.

На плоскости Лобачевского сумма углов треугольника не постоянна. Она зависит от длины сторон треугольника. Чем больше стороны, тем меньше сумма углов. В пределе, при бесконечном возрастании всех трех сторон, сумма углов будет стремиться к нулю. А так как углы зависят от длины сторон, значит, никаких подобных фигур существовать не может.

Итак, пространство Лобачевского обладает кривизной. Лобачевский показал, что теоретически радиус кривизны пространства может иметь любые значения и каждому из них будет соответствовать свое искривленное пространство. Вопрос о степени искривления реального пространства Вселенной лежит уже вне геометрии, его могут решить только физика и астрономия. В частном случае, когда радиус кривизны становится равным бесконечности, пространство Лобачевского переходит в пространство Эвклида - плоское, нулевой кривизны. В любой области пространства, размер которого мал по сравнению с радиусом кривизны, различие между обеими геометриями оказывается ничтожно малым. Лобачевский подчеркивал, что его геометрия может быть только геометрией огромных пространств, гигантских межзвездных расстояний, геометрией Вселенной.

Новая глава в истории неэвклидовой геометрии связана с именем Бернгарда Римана (1826-1866), который дал новое, расширенное и обогащенное содержание понятию пространства. Он определил его как непрерывную совокупность любых однородных объектов. Он показал, что, опираясь на законы математики и логики, а также используя общее понятие о величине, можно конструировать различные п-мерные пространства, каждому из которых соответствует своя геометрия. Тем самым Риман открыл существование гигантского множества пространств - многообразий. Риман не только предложил общий универсальный принцип: метрические отношения следует искать и фиксировать в бесконечно малой области пространства, но и показал, как определять метрики какого-либо пространства в бесконечно малой его области.

Риман дал основные идеи геометрий различных n-мерных пространств без детальной их разработки. Совокупность этих геометрий называют римановой геометрией в широком смысле слова. Однако он также обобщил и разработал еще глубже геометрию трехмерного пространства с постоянной кривизной. Эвклидово пространство с нулевой кривизной Риман считал частным случаем пространств с постоянной кривизной. Пространство с постоянной отрицательной кривизной открыл Лобачевский. Риман исследовал и описал пространство с постоянной положительной кривизной, детально разработал геометрию такого пространства, которая и называется геометрией Римана.

Приведем основные положения геометрии Римана. Главной особенностью пространства с положительной кривизной является то, что это пространство замкнутое, как замкнуты сферические и эллиптические поверхности[2]. Под прямой Риман понимает линию, являющуюся кратчайшей между двумя точками. Все прямые пространства - замкнутые линии. Параллельных прямых в геометрии Римана нет. Любые две прямые обязательно пересекаются в двух точках (аналогично меридианам на глобусе). Сумма углов треугольника больше 180°. В геометрии Римана возможен треугольник, у которого все три угла прямые.

В заключение приведем еще одно название рассмотренных геометрий. Геометрию Лобачевского (пространства с отрицательной кривизной) называют гиперболической, геометрию Римана (пространства с положительной кривизной) - эллиптической, а геометрию Эвклида (пространства с нулевой кривизной) - параболической.

 


Возврат подоходного пенсионерам смотрите на www.3ndfl.com.
Комплексный метод расчета цепей