Начертательная геометрии и инженерная графика Преобразование комплексного чертежа Плоскости и их проекции Электротехника

Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока

 Широкое распространение на практике получил метод расчета цепей синусоидального тока, который принято называть комплексным. Сущность метода состоит в том, что синусоидальные токи, напряжения и ЭДС изображаются комплексными числами, а геометрические операции над векторами заменяются алгебраическими операциями над комплексными числами. Этот метод позволяет рассчитывать цепи синусоидального тока алгебраически аналогично цепям постоянного тока.

2.4.1. Векторное представление синусоидальных величин

Вращающийся вектор, который изображает синусоидальную функцию, можно поместить на комплексную плоскость, в систему перпендикулярных осей:   – действительных чисел,  – мнимых чисел. Положительные направления осей на комплексной плоскости обозначаются индексами: +1 – ось действительных чисел; + – ось мнимых чисел, где = – мнимая единица (рис. 2.17).

 а) б) в)

Рис. 2.17

 Известно, что координаты точки на комплексной плоскости определяются радиусом–вектором этой точки, т.е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу (рис. 2.17 а).

 Показательная форма записи

где  – модуль; – аргумент или фаза, отсчитываемая от оси +1 против часовой стрелки.

 Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую и соответственно алгебраическую форму записи комплексного числа:

,

где .

 Очевидно

.

 Заменим в уравнении для показательной формы записи  на , а на . Получим комплекс тока

, (2.39)

который является символическим (комплексным) изображением функции   и называется комплекс мгновенного значения тока.

 Комплексы обозначаются теми же буквами, что и их действительные оригиналы, только с чертой внизу. Модуль комплекса мгновенного значения   равен амплитуде синусоидального тока , а его переменный аргумент () является аргументом изображаемой синусоиды (рис. 2.17 б). Из формулы (2.39) можно записать комплекс тока в тригонометрической форме

,

а также получить изображение функции (оригинала)

, (2.40)

т.е. мгновенное значение тока равно мнимой части комплекса мгновенного значения тока. Ток (2.39) можно представить в виде

,

где  является другим символом, называемым комплексом амплитудного значения. Это аналитическое представление неподвижного вектора, длина которого равна амплитуде тока, а угол между направлениями вектора и осью «+1» на комплексной плоскости равен начальной фазе   (рис. 2.17 в). Комплексом действующего значения называют изображение

Записать комплексы действующих значений напряжения и тока, если их мгновенные значения представлены уравнениями

, А.

Комплекс полного сопротивления и комплекс полной проводимости. Законы Кирхгофа в комплексной форме.

Мощности в комплексной форме Формулы для определения полной, активной и реактивной мощностей записаны раньше.

Повышение коэффициента мощности в цепях синусоидального тока Большинство современных потребителей электрической энергии имеют индуктивный характер нагрузки, токи которой отстают по фазе от напряжения источника.


На главную