Высшая математика конспект лекций по первому курсу технического университета

Математика
Дифференциальные уравнения

Исследование функции

Комплексные числа
Построение графика
Графики функций
Частичное аналитическое интегрирование
Вычислить несобственные интегралы
Предел последовательности
Знакопеременные ряды
Изменить порядок интегрирования
Предел функции
Плотность импульсов
Комбинаторика
Интерьеры кинотеатров
Коммутация каналов
Бином Ньютона
Физика
Геометрическая оптика
Регистрация параметров

Фотометрия

Дифракция севета
Поляризация света
Оптика движущихся тел
Раздельное резервирование
Интерференция света
Фотоэлектрический эфект
Ренгеновское излучение
Рисование инструментом Paintbrush
Радиоактивность
Промышленные выставки
Учебник по Microsoft Office
Ядерные реакции
Задачи
Кинематика
Механика
Привести к каноническому виду
Термодинамика
Электростатика
Магнитное поле
Математика, физика
Ядерная физика

 

Функции и их графики

Основные обозначения и определения

Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;
$ \varnothing $ означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;
$ [a;b]$, $ [a;b)$, $ (a;b]$ и $ (a;b)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$, соответственно,-- замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка-- что не включается;
$ (-\infty;b]$, $ (-\infty;b)$, $ (a;+\infty)$ и $ [a;+\infty)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$-- замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки); Задачи по Кузнецову
$ (-\infty;+\infty)$-- числовая прямая, то же, что и $ \mathbb{R}$;
$ A\cup B$-- пересечение (общая часть) множеств $ A$ и $ B$;
$ A\cap B$-- объединение множеств $ A$ и $ B$ (все точки из $ A$ и все точки из $ B$); Диффенцируемость ФНП Примеры решения и оформления задач контрольной работы
$ A\diagdown B$-- множество тех элементов из $ A$, которые не принадлежат $ B$;
$ A\sbs B$-- включение $ A$ в $ B$ ($ A$-- это часть $ B$);
$ x\in A$-- принадлежность элемента $ x$ множеству $ A$ ($ x$ принадлежит $ A$);
$ x\notin A$-- элемент $ x$ не принадлежит множеству $ A$;
$ \{a;b;\dots;z\}$-- множество, состоящее из элементов $ a,b,\dots,z$; в частности, $ \{a\}$-- множество из одного элемента $ a$;
$ \{x\in A: P(x)\}$-- множество всех тех элементов $ x$ из $ A$, для которых выполняется свойство $ P(x)$.

Первый способ задания функции: табличный

пример

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Обзор некоторых элементарных функций

Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления

Во многих случаях функцию $ f$ приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся.

Композиция функций

Если даны два отображения $ {f:X\to U_1}$ и $ {g:U_2\to Y}$, где $ U_2\sbs U_1$, то имеет смысл "сквозное отображение" $ {x\mapsto u\mapsto y}$ из $ X$ в $ Y$, заданное формулой $ y=g(f(x))$, $ x\in X$, которое называется композицией функций $ f$ и $ g$ и обозначается $ g\circ f$.

Обратная функция

Если $ f:A\to B$-- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого $ y\in B$ однозначно определен такой элемент $ x\in A$, что $ f(x)=y$. Тем самым однозначно определено соответствие $ y\mapsto x$, называемое обратной функцией по отношению к функции $ f$. Обратная функция для $ f$ обозначается $ f^{-1}$.

Примеры и упражнения

Упражнения

Упражнение 1.6 Пусть $ f(x)=\arcsin x$, $ x\in[-1;1]$, $ g(u)=\cos u$, $ u\in\mathbb{R}$. Тогда определены композиции $ f\circ g$ и $ g\circ f$. Докажите, что при $ x\in[-1;1]$ имеет место равенство $ (g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$. Выясните также, чему равна функция $ f\circ g$ и каков её график.

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение непрерывности функции

Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Примеры, упражнения

Определение точек разрыва

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$,

Пример   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и  

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$

Свойства функций, непрерывных в точке

   Теорема Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Если $ g(x_0)\ne0$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непрерывна в точке $ x_0$.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$.

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Теорема о достижении экстремума непрерывной функцией

Равномерная непрерывность

Примеры, упражнения

Непрерывность обратной функции

Теорема Пусть $ f$ -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$, $ \mathcal{E}(f)=[c;d]$. Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$.

Гиперболические функции и ареа-функции

Гиперболическим синусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$
Гиперболическим косинусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$
Гиперболическим тангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$
Гиперболическим котангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{... ...\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$

Примеры, упражнения

Примеры и упражнения

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример

Пример

Общее определение предела

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Общие свойства пределов

Первый и второй замечательные пределы

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Сравнение бесконечно малых

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пример

Упражнения на вычисление пределов

Пределы, Многочлен Тейлора

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример Пусть $ x_0=0$ и рассматривается функция $ f(x)=2\sin x+1$. Покажем, что $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$

Пример Покажем, что предел последовательности $ y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.

Общее определение предела

Определение Пусть $ \mathcal{B}$-- некоторая база и функция $ f(x)$ определена во всех точках $ x$ некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$ (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний $ E\sbs E_0$). Число $ L$ называется пределом функции $ f(x)$ по базе $ \mathcal{B}$ (или при базе $ \mathcal{B}$) и обозначается $\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x),$

 

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела.

Определение Функция $ {\alpha}(x)$ называется бесконечно малой величиной при базе $ \mathcal{B}$, если её предел при данной базе равен 0, то есть $ {\alpha}\xrightarrow {\mathcal{B}}0$.

Общие свойства пределов

Первый и второй замечательные пределы

 Определение   Первым замечательным пределом называется предел $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$

 Определение   Вторым замечательным пределом называется предел $\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

   Определение Пусть $ x_0$ -- внутренняя точка области определения функции $ f(x)$, то есть функция $ f(x)$ определена при всех $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ ( $ {\delta}>0$), окружающего точку $ x_0$. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

Сравнение бесконечно малых

Таблица эквивалентных бесконечно малых при

Пример

Упражнения на вычисление пределов

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

 

Многочлен Тейлора

Коэффициенты Тейлора

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Формула Тейлора для экспоненты такова: $\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_n(x).$

Получаем формулу Тейлора для синуса: $\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x).$

Упражнение

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

 

Примеры

        Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=xe^{x^2}$. Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$. Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,
$\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+R_n(z),$
и положим в нём $ z=x^2$:
$\displaystyle e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n(x^2). $
Теперь умножим левую и правую части этой формулы на $ x$:
$\displaystyle xe^{x^2}=x+x^3+\frac{x^5}{2!}+\frac{x^7}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{n!} +xR_n(x^2).$
Заметим, что бесконечно малое при $ x\to0$ выражение $ \tilde R(x)=xR_n(x^2)$ имеет тот же или больший порядок малости, как $ x^{2(n+1)+1}=x^{2n+3}$, и поэтому может рассматриваться как остаточный член $ R_{2n+2}(x)$ в формуле Тейлора для $ f(x)$, а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.     

Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.

        Пример   Найдём предел
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$
Для начала найдём разложение по формуле Тейлора в точке 0 для числителя:
$\displaystyle e^x-1-x=-1-x+1+x+\frac{x^2}{2}+r_3(x)= \frac{x^2}{2}+r_3(x),$
где через $ r_3(x)$ обозначен остаточный член, имеющий тот же порядок малости, что и $ x^3$. Разложение для знаменателя имеет вид:
$\displaystyle \sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}=(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+s_3(x))- (1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+t_3(x)),$
где остаточные члены $ s_3(x)$ и $ t_3(x)$ тоже имеют тот же порядок малости, что и $ x^3$, при $ x\to0$. Выполняя приведение подобных членов, получаем, что знаменатель равен
$\displaystyle -(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x).$
Итак,
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}= \lim_{x\to0}\dfrac{\frac{x^2}{2}+r_3(x)} {-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x)}=$   
$\displaystyle =\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{r_3(x)}{x^2}} {-(\frac{1}{... ...rac{s_3(x)-t_3(x)}{x^2}}= \dfrac{\frac{1}{2}}{-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})}=-3.$
Файлы и устройства ввода/вывода Найдём дифференциал функции трёх переменных

двухъярусная детская мебель
Strompreise zu teuer? Jetzt Stromvergleich kostenlos erstellen.
Kostenlos mit unserem Stromrechner Anbieter vergleichen.