Высшая математика конспект лекций по третьему курсу технического университета

Векторная алгебра

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Определение Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c-- его диагональю

Теорема Для любых векторов ${\bf a},{\bf b},{\bf c}$ и любых вещественных чисел ${\alpha},{\beta}$ выполняются следующие свойства: ${\bf a}+{\bf b}={\bf b}+{\bf a}$ (свойство коммутативности операции сложения);

Разложение вектора по базису

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора

Линейная зависимость векторов

Предложение Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима

Система координат и координаты вектора интегрирование подстановкой Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Рассмотрим случай трехмерного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем некоторую точку и возьмем произвольную точку . Радиус-вектором точки по отношению к точке называется вектор $\overrightarrow {OM}$ . Построить график
Если в пространстве выбран базис, то вектор $\overrightarrow {OM}$ раскладывается по этому базису. Таким образом точке можно сопоставить упорядоченную тройку чисел -- координаты ее радиус-вектора.

Проекции вектора

Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций

Скалярное произведение

Теорема Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами ${{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , ${{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3})$ , то $\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

Векторное произведение

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Смешанное произведение

Определение Смешанным произведением векторов a,b,c называется число ${\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .
Смешанное произведение будем обозначать abc.
Смешанное произведение линейно по каждому аргументу

Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Пусть в правом ортонормированном базисе заданы векторы ${{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , ${{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3)}$ , ${{\bf c}=({\gamma}_1,{\gamma}_2,{\gamma}_3)}$ , ${{\bf d}=({\delta}_1,{\delta}_2,{\delta}_3)}$ . Цель данного раздела-- научиться определять, образуют ли векторы a,b,c базис, и, в случае положительного ответа на этот вопрос, научиться находить координаты вектора d в базисе a,b,c.

Линия и плоскость в пространстве

Определение Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности , этому уравнению не удовлетворяют.

Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

Определение Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.

Теорема Всякое уравнение(11.3), в котором $\vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ , является уравнением плоскости, ортогональной вектору ${\bf n}=(A,B,C)$ .

Изображение плоскости

Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля

В этом случае находим точки пересечения плоскости с осями координат.
Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю

В этом случае плоскость проходит через начало координат и других точек пересечения с осями нет.
Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю

Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю В этом случае плоскость параллельна оси того переменного, которое в явном виде отсутствует в уравнении плоскости (коэффициент перед этим переменным равен нулю).
Два коэффициента при переменных равны нулю

Угол между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости

Прямая на плоскости

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.
Замечание Если в качестве параметра взять время, то точка будет двигаться по прямой со скоростью $\vert{\bf p}\vert$ , причем в момент времент ее положение совпадает с точкой . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.

Основные задачи на прямую и плоскость

Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу.
Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора.
Пример Найдите точку пересечения прямой $\frac{x-2}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}3$ и плоскости .
Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.
Пример Найдите точку , симметричную точке относительно прямой ${\gamma}$ :
Кривые и поверхности

Кривые второго порядка

Определение Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка $\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$

Окружность
Эллипс

Определение 12.3 Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.
Предложение Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси и , начало координат -- центр симметрии.
Гипербола
Парабола

Пример Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.
Параллельный перенос системы координат

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: ("старая") и $\tilde xO_1\tilde y$ ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены

В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".
Пример Нарисуйте кривую ${x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы.
Пример Постройте кривую $\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$

Поверхности второго порядка

Определение Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением $\displaystyle ax^2+by^2+cz^2+dxy+fxz+gyz+hx+ky+lz+m=0,$
Сфера
Эллипсоид

Сечения эллипсоида координатными плоскостями
Гиперболоиды

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$

Определение Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид $\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$
Конус

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0,$
Параболоиды

Определение Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},$
Цилиндры

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими.
Параллельный перенос системы координат

Пример Нарисуйте поверхность .

Линейные пространства уравнения

Системы линейных уравнений

Определение 15.1 Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\... ...ots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.\end{array}\right.$

Правило Крамера

Теорема (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными ${\Delta}\ne0$ , то система имеет решение и притом единственное.
Пример Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3=1,\\ 3x_1+x_2+5x_3=-3, \\ 5x_1+3x_3=2.\end{array}\right.$
Существование решения системы линейных уравнений общего вида

Теорема Кронекера-Капелли

Однородная система уравнений
Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Примеры
Найдите общее решение системы уравнений
Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений

Алгебраические структуры

Группы

Пример
Кольца

Пример
Поля

Многомерные пространства

Линейные пространства

Определение и примеры
По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.
Базис и размерность пространства

Теорема В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.

Координаты векторов
Изменение координат вектора при изменении базиса

Пример

Евклидово пространство
Определение Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.

Пример

Аффинное -мерное пространство

Линейные преобразования

Определение и примеры

Пример
Упражнение Пусть -- двумерное векторное пространство, -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $\mathcal{A}$ -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой
Матрица линейного преобразования

Пример
Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
Собственные числа и собственные векторы
Определение 19.3 Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования $\mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу ${\lambda}$ , если ${\mathcal{A}(x)={\lambda}x}$ .

Пример
Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$
Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

Теорема Пусть собственные векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ преобразования $\mathcal{A}$ соответствуют собственным числам ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ является линейно независимой.
Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Теорема Если матрица -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Пример Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$

Матрицы

Определение, обозначения и типы матриц

Определение Матрицей размеров $m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Сложение матриц и умножение на число

Определение Суммой матриц и размеров $m\times n$ является матрица таких же размеров, у которой ${c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$ , ${i=1,2,\dots,m}$ , ${j=1,2,\dots,n}$ .

Символ суммирования

Замечание Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина.

Умножение матриц

Пример Даны матрицы $A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&0\\ -1&2&-2\end{array}\right)$ , $B=\left(\begin{array}{rr} 3&-2\\ 1&0\\ 4&-3\end{array}\right)$ . Найдите произведения и .
Замечание Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).
Докажем дистрибутивность умножения

Транспонирование матрицы

Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием.

Определители

Предложение При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть ${\vert A^\top\vert=\vert A\vert}$ .
Предложение Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.
Пример
Алгоритм создания нулей в столбце

Обратная матрица

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .

Пример Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.
Пример Матрица примера 14.9 имеет ранг 3, так как есть минор третьего порядка, отличный от нуля, а миноров четвертого порядка нет.
Алгоритм нахождения ранга матрицы
Теорема Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда один из ее столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).
Комплексные числа
Построение поля комплексных чисел
Определение Числа вида , где и -- вещественные числа, называются комплексными числами.

Примеры
Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат . Каждому комплексному числу можно сопоставить точку с координатами , и наоборот, каждой точке с координатами можно сопоставить комплексное число . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплекные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Модуль и аргумент
Тригонометрическая форма комплексного числа

Примеры
Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой $\displaystyle e^{i{\varphi}}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi},$ которая носит название формулы Эйлера.

Примеры
Извлечение корня из комплексного числа

Найдите корни уравнения ${z^4=-1}$ .
Корни многочленов
В разделе "Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами" мы видели, что в поле комплексных чисел любой квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами имеет корни, этих корней два, если дискриминант отличен от нуля, и один в противном случае. Теперь, когда мы имеем возможность извлекать корни из комплексных чисел, мы можем найти корни квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами,